Sala de Imprensa ICMC-USP: A matemática que habita os objetos ao seu redor

Não importa se você tem diante de si um celular, um computador, um papel, uma caneta. Olhe para eles como um matemático que só enxerga formas geométricas e a lista se reduzirá a cubos, esferas, cilindros... Descubra, agora, como é esse mundo para os especialistas em topologia

“Tudo o que tocamos no mundo concreto é tridimensional”, diz o professor Ton

Você é capaz de pegar um ponto no colo? Já se encostou em uma reta ou entrou dentro de um plano? “Tudo o que tocamos no mundo concreto é tridimensional”, diz o professor Ton Marar, do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da USP, em São Carlos. Portanto, conclui Ton, nós nunca conseguiremos pegar um ponto, encostar na reta ou entrar dentro de um plano. Simplesmente porque foram os matemáticos dedicados a estudar geometria que criaram pontos, retas e planos para representar as coisas do nosso mundo nas lousas e folhas de papel. Pontos, retas e planos só existem no universo das ideias.

Observe Ton e entenda melhor como isso funciona. Ele é um matemático do tipo inquieto: gesticula impacientemente enquanto fala sobre as formas e suas dimensões. O espectador que assiste a sua palestra, em uma manhã da semana, no auditório Fernão Stella de Rodrigues Germano, na USP em São Carlos, pode facilmente imaginar as mãos de Ton tocando o cubo projetado no telão. Mas, como bem explicou o professor no começo deste texto, é impossível tocá-lo, já que é só uma projeção que aparece na tela.

Lembro-me do fascínio da minha filha quando, pela primeira vez, desenhei para ela dois quadrados parcialmente sobrepostos e os uni com retas saindo dos cantinhos (vértices). Claro que, naquele desenho que fiz do cubo, nem todas as linhas e ângulos que construí eram perfeitamente iguais. Essa distorção não ocorreu apenas por causa da minha pouca habilidade artística. Pense que, na vida real, os cubos têm sempre três dimensões: podemos movimentá-los para esquerda e para a direita, para cima e para baixo, ou ainda, para frente e para trás. Mas no papel só há duas dimensões: não podemos desenhar o cubo atravessando a folha de papel, com uma parte para frente e a outra para trás. Essa impossibilidade é matematicamente explicada e compreendida: é o preço que pagamos para representar um objeto de três dimensões em um espaço de duas dimensões.

Aliás, provavelmente, a maioria das pessoas que leem este texto estão dentro de cubos, inseridas em cômodos de edifícios ou casas, por exemplo. Essas mesmas pessoas concluem, sem nenhuma dificuldade, a impossibilidade de entrar no cubo que desenhei para minha filha e de Ton tocar o cubo projetado na tela do auditório. O mais complicado é pensar que, pelo menos matematicamente, existe um mundo com dimensões que vão além dessas três com as quais estamos acostumados. “Apenas por meio das projeções é que conseguimos entender como seria um objeto da quarta dimensão”, explica Ton.

Imaginativos como são, os matemáticos inventaram uma maneira para mergulharmos nesse universo que não podemos ver muito menos tocar. Há todo um campo dedicado a estudar essa essência das formas: chama-se topologia. Nesse mundo abstrato da topologia, não importa se temos um traço reto na horizontal, na vertical ou uma curva. Ela será compreendida simplesmente como uma linha aberta. Também pouco interessa se temos quadrados, triângulos, retângulos, hexágonos ou círculos. Para os especialistas em topologia, tudo isso não passa de linhas fechadas. Essas linhas, quer sejam abertas ou fechadas, podem passar continuamente por transformações e, depois, há sempre a possibilidade de desfazer essas modificações.

Entre as superfícies topológicas mais conhecidas está uma que pode até assustar à primeira vista: a Fita de Möbius. Apesar do nome, não têm nada de complicado. Você pode construir uma superfície dessas sem qualquer dificuldade: recorte uma tira de papel longa o suficiente para pode colar as duas pontas (pense em algo com, no mínimo, cerca de 30 centímetros de comprimento). Mas, antes de colar as extremidades, faça uma torção (dê meia volta, girando 180 graus) e, só então, cole as pontas, deixando aquela volta esquisita exposta. Pronto: você tem nas mãos uma Fita de Möbius (veja a imagem).

Esta imagem é uma reprodução da gravura “Banda de Möbius 2”, criada pelo artista Escher em 1963. Ele se inspirou na famosa Fita de Möbius, apresentada em 1858 pelo matemático August Ferdinand Möbius – Imagem: Divulgação

Imagine que essa faixa é grande o suficiente para ser considerada uma autoestrada e você decide pegar seu carro e sair dirigindo por ela seguindo a linha central. O que acontecerá? Ao final do percurso, você voltará ao ponto de partida, mas de cabeça para baixo. Ora, estamos em um caminho sem fim nem início. Quando estiver dirigindo, olhe para os lados e responda: você está percorrendo a parte interna ou a parte externa da estrada? Tenho certeza de que não conseguirá responder à pergunta porque a Fita de Möbius aparenta ter dois lados, mas só tem um. Essa é, aliás, uma característica das chamadas superfícies não orientáveis, ou seja, superfícies nas quais não é possível definir um interior e um exterior. Algumas correias e esteiras rolantes são construídas tal como a Fita de Möbius a fim de possibilitar que o desgaste das peças seja de forma homogênea.

“A Coisa” da quarta dimensão - Assim como estamos usando letras neste texto, os matemáticos também criaram uma linguagem para descrever as formas no espaço. Por exemplo, em vez de representar um plano por meio de um desenho, eles podem usar fórmulas matemáticas, com números e letras. Porém, de nada adiantaria mostrar aqui esses números e letras, já que seriam totalmente vazios de sentido para quem não domina a linguagem da matemática, tal como este texto seria incompreensível para alguém que não conhecesse a língua portuguesa. Vale lembrar que “a matemática não é uma ferramenta seca e mecânica, mas um corpo vivo de pensamento inseparavelmente conectado, dependente e inestimável para outros campos da nossa cultura”, como bem descreve o matemático Morris Kline no livro Mathematics in Western Culture, de 1953.

O fato é que, no inverno de 1986, durante seus estudos na Universidade de Warwick, na Inglaterra, Ton se deparou com equações que o surpreenderam. Ele decidiu então olhá-las sob outro ponto de vista: tentou desenhar o que tinha encontrado. Surgia assim o esboço de uma superfície muito atraente que, no futuro, sairia do universo abstrato da imaginação matemática para o mundo concreto, transformando-se em uma obra de arte. Nomeada de Singularidade H2 de David Mond, a descoberta está na tese de doutorado de Ton, defendida em 1989, e ganhou um primeiro esboço em papel cartão, com aproximadamente 30 centímetros. No ano seguinte, o modelo foi ampliado 10 vezes e deu origem a uma estrutura em argamassa armada e pesando mais de uma tonelada que está fixada no jardim em frente à Biblioteca Achille Bassi, do ICMC. Carinhosamente chamada como A Coisa, ela é uma atração do instituto e faz parte do acervo da USP de obras escultóricas em espaços externos.

"A Coisa é a projeção de um plano curvado e torcido na quarta dimensão", diz Ton - Foto: Nilton Junior/ArtyPhotos

Pode até parecer papo de alienígena, mas A Coisa veio, literalmente, da quarta dimensão. Ton explica: a escultura que podemos apreciar no jardim do ICMC é uma projeção na terceira dimensão de uma superfície matemática que só existe na quarta dimensão. Como estamos limitados a enxergar em três dimensões, ao olharmos para A Coisa, vemos diversas interseções entre as partes desse objeto. Se fôssemos capazes de mergulhar na quarta dimensão, veríamos que essas partes, na verdade, não se tocam. “A Coisa é a projeção de um plano curvado e torcido na quarta dimensão”, diz Ton.

Para apreciar A Coisa pessoalmente, basta ir até o jardim do ICMC, na área I do campus da USP, em São Carlos. Existe, ainda, a possibilidade de conhecê-la virtualmente assistindo aos vídeos disponíveis na galeria virtual Superfícies além da terceira dimensão, criada pelo professor Thomas Banchoff, da Brown University, em colaboração com o professor Davide Cervone (disponível neste link).

Inquietação constante - O fascínio de Ton pelo formato dos objetos nasceu muito antes dele chegar ao ICMC, aos 17 anos, para cursar o Bacharelado em Matemática. Desde criança, ele olha para o céu e se questiona sobre a forma do nosso universo. Hoje, aos 59 anos, sabe que quanto mais conhecemos sobre o assunto, mais a nossa insignificância se manifesta. As inquietações que tinha quando chegou ao Instituto são praticamente as mesmas, há apenas uma certeza: “se temos alguma chance de entendermos o formato do nosso universo, será por meio da topologia”.

Ele mostra no telão a capa da revista Nature de 2003: uma superfície composta por 120 células e quatro dimensões junto com a pergunta “Este é o formato do universo?”. Ton conta que os estudos mais recentes sobre o tema têm levado os cientistas a acreditarem que ele é composto de 120 dodecaedros sólidos (assista ao vídeo). Nesse sentido, o universo teria um formato finito, mas sem bordas.

Capa da revista Nature mostra uma superfície com 120 células e quatro dimensões - Imagem: Revista Nature

Para compreender como é a quarta dimensão, pense em alguns princípios básicos da geometria analítica concebida por René Descartes. Observe que as dimensões de um objeto correspondem ao número de coordenadas necessárias para descrever seus pontos em termos de latitude e longitude.

Veja a imagem a seguir: temos um plano bidimensional com dois eixos (o X e o Y). Se você quiser definir um objeto de duas dimensões usando a geometria analítica, precisará saber qual sua posição no eixo X e no eixo Y, certo? Olhe novamente para a imagem: se um carro estiver no ponto laranja, local em que o eixo X e o eixo Y coincidem, podemos dizer que esse carro está em 0,0. Já se o veículo estiver no ponto verde, ele estará em um local que corresponde ao número 2 no eixo X e ao número 3 no eixo Y, portanto, podemos afirmar que está em 2,3 (tal como no alfabeto, o X vem sempre à frente do Y).

Neste plano em duas dimensões, é possível enxergas as relações entre os eixos x e y - Imagem: Wikimedia Commons

Prosseguindo com essa ideia, se quisermos construir um plano em três dimensões, vamos precisar de mais um eixo e usaremos outra letra para designá-lo, no caso o Z (veja a imagem). Perceba que, matematicamente, não há nenhuma razão especial que nos impeça de criar mais eixos e, portanto, vislumbrar mais dimensões.

Olhe para este plano em três dimensões: veja que, matematicamente, não há motivo que nos proíba de criarmos mais eixos além do x, y e z - Imagem: Wikimedia Commons

Acostumados a ter uma vida cotidiana em nossos cubos tridimensionais, não é tarefa fácil imaginar a existência de outras dimensões. Tal como foi complicado para nossos antepassados encararem que a Terra não era plana. Talvez a imagem a seguir ajude: note que temos uma linha (uma dimensão); depois um quadrado (duas dimensões); a seguir um cubo (três dimensões); e, por último, um hipercubo (quatro dimensões). Lembra-se de que, no começo deste texto, contei sobre a primeira vez que desenhei um cubo para minha filha? A mesma técnica que usamos para desenhar um cubo, sobrepondo parcialmente dois quadrados, é usada para desenhar um hipercubo, mas nesse caso precisamos sobrepor dois cubos.

Para construir um hipercubo, é preciso sobrepor dois cubos - Imagem: Duke Research Blog

Se você ficou tão fascinado quanto eu pela quarta dimensão, faça uma busca na web: há inúmeros vídeos mostrando como são construídas essas superfícies. Quem tiver a oportunidade de ir aos Estados Unidos, também pode visitar a exposição Para todo o tempo: interpretações da nossa coleção sobre a quarta dimensão, que fica em cartaz até fevereiro de 2018 no Weatherspoon Art Museum da Universidade da Carolina do Norte, na cidade de Greensboro.

A verdade é que o encanto das formas geométricas tem movido a humanidade há séculos. Há até uma versão dramática sobre a morte de Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego: profundamente imerso em seus cálculos enquanto os romanos tomavam a Grécia, ele desenhava círculos em sua bandeja de areia plana quando notou a sombra do soldado romano que o mataria. A tragédia levou o filósofo inglês Alfred Whitehead a fazer uma interessante reflexão: “Nenhum romano perdeu a vida pelo fato de estar absorvido na contemplação de uma figura geométrica”. Diferentemente dos romanos, talvez Arquimedes já tivesse compreendido que o futuro da nossa existência dependia, de certa forma, dos avanços no estudo da matemática.

Texto: Denise Casatti/Assessoria de Comunicação do ICMC

ESTA REPORTAGEM FAZ PARTE DO ESPECIAL DO JORNAL DA USP

"A MATEMÁTICA ESTÁ EM TUDO": http://jornal.usp.br/especial/matematica/

Para saber mais

Galeria de imagens sobre “A Coisa”: icmc.usp.br/e/cd98e

Sobre a exposição nos Estados Unidos: https://carolinianuncg.com/2017/08/30/enter-the-fourth-dimension-at-the-weatherspoon

Artigo do professor Luiz Barco: https://super.abril.com.br/ciencia/a-quarta-dimensao-que-ninguem-enxerga

Artigo de Anika Radika-Dixit: https://sites.duke.edu/dukeresearch/2017/04/26/visualizing-the-fourth-dimension/

O físico Carl Sagan explica em vídeo a quarta dimensão:

https://www.youtube.com/watch?v=NuKUllDK_aM&t=816

Vídeos da série “Isto é Matemática”:

• A forma do universo: https://www.youtube.com/watch?v=xokuhkuPSr8